Finite Mathematik Beispiele

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \cdot 1 + \log_{3} (3 x - 2)$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (2 x - 3) - \log_{3} (3 x - 2) = 2$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$

Schritt 4

Schreibe $\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{2 x - 3}{3 x - 2}$

Schritt 5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 x - 3 = 3^{2} (3 x - 2)$

Schritt 6

Vereinfache $3^{2} (3 x - 2)$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 x - 3 = 9 (3 x - 2)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 = 9 (3 x) + 9 \cdot - 2$

Schritt 6.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$2 x - 3 = 27 x + 9 \cdot - 2$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$2 x - 3 = 27 x - 18$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $27 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 - 27 x = - 18$

Schritt 7.2

Subtrahiere $27 x$ von $2 x$ .

$- 25 x - 3 = - 18$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 25 x = - 18 + 3$

Schritt 8.2

Addiere $- 18$ und $3$ .

$- 25 x = - 15$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 25 x = - 15$ durch $- 25$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 25 x = - 15$ durch $- 25$ .

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 25$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 25}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $- 25$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 15$ heraus.

$x = \frac{- 5 (3)}{- 25}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 25$ heraus.

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 10

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$