Finite Mathematik Beispiele

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 {log}_{3} (3) + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Die logarithmische Basis

3

$3$ von

3

$3$ ist

1

$1$ .

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 \cdot 1 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \cdot 1 + \log_{3} (3 x - 2)$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

{log}_{3} (2 x - 3) = 2 + {log}_{3} (3 x - 2)

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 + \log_{3} (3 x - 2)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

{log}_{3} (2 x - 3) - {log}_{3} (3 x - 2) = 2

$\log_{3} (2 x - 3) - \log_{3} (3 x - 2) = 2$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

{log}_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2

$\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$

Schritt 4

Schreibe

{log}_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2

$\log_{3} (\frac{2 x - 3}{3 x - 2}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b

$b$

\neq

$\neq$

1

$1$ , dann ist

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

3^{2} = \frac{2 x - 3}{3 x - 2}

$3^{2} = \frac{2 x - 3}{3 x - 2}$

Schritt 5

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

2 x - 3 = 3^{2} (3 x - 2)

$2 x - 3 = 3^{2} (3 x - 2)$

Schritt 6

Vereinfache

3^{2} (3 x - 2)

$3^{2} (3 x - 2)$ .

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Schritt 6.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

2 x - 3 = 9 (3 x - 2)

$2 x - 3 = 9 (3 x - 2)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

2 x - 3 = 9 (3 x) + 9 \cdot - 2

$2 x - 3 = 9 (3 x) + 9 \cdot - 2$

Schritt 6.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

9

$9$ .

2 x - 3 = 27 x + 9 \cdot - 2

$2 x - 3 = 27 x + 9 \cdot - 2$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere

9

$9$ mit

- 2

$- 2$ .

2 x - 3 = 27 x - 18

$2 x - 3 = 27 x - 18$

2 x - 3 = 27 x - 18

$2 x - 3 = 27 x - 18$

2 x - 3 = 27 x - 18

$2 x - 3 = 27 x - 18$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die

x

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere

27 x

$27 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x - 3 - 27 x = - 18

$2 x - 3 - 27 x = - 18$

Schritt 7.2

Subtrahiere

27 x

$27 x$ von

2 x

$2 x$ .

- 25 x - 3 = - 18

$- 25 x - 3 = - 18$

- 25 x - 3 = - 18

$- 25 x - 3 = - 18$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

- 25 x = - 18 + 3

$- 25 x = - 18 + 3$

Schritt 8.2

Addiere

- 18

$- 18$ und

3

$3$ .

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$ durch

- 25

$- 25$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in

- 25 x = - 15

$- 25 x = - 15$ durch

- 25

$- 25$ .

\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 25

$- 25$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 15}{- 25}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 15}{- 25}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 15$ und

$- 25$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere

$- 5$ aus

$- 15$ heraus.

$x = \frac{- 5 (3)}{- 25}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere

$- 5$ aus

$- 25$ heraus.

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 5}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 10

Schließe die Lösungen aus, die

$\log_{3} (2 x - 3) = 2 \log_{3} (3) + \log_{3} (3 x - 2)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$