Finite Mathematik Beispiele

$\log_{2} (4 x - 8) = 3 + \log_{2} (2 x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (4 x - 8) - \log_{2} (2 x) = 3$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x - 8}{2 x}) = 3$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 8$ und $2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (2 x) - 8}{2 x}) = 3$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 4}{2 x}) = 3$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 4)$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (2 x - 4)}{2 x}) = 3$

Schritt 3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (2 x - 4)}{2 (x)}) = 3$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{2 (2 x - 4)}{2 x}) = 3$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{2 x - 4}{x}) = 3$

Schritt 4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (x) - 4}{x}) = 3$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x}) = 3$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (x - 2)}{x}) = 3$

Schritt 5

Schreibe $\log_{2} (\frac{2 (x - 2)}{x}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 (x - 2)}{x}$

Schritt 6

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 (x - 2) = 2^{3} (x)$

Schritt 7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (x - 2) = 8 x$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 (x - 2) - 8 x = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 \cdot - 2 - 8 x = 0$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 x - 4 - 8 x = 0$

Schritt 8.3

Subtrahiere $8 x$ von $2 x$ .

$- 6 x - 4 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x - 4$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$2 (- 3 x) - 4 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (- 3 x) + 2 (- 2) = 0$

Schritt 9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x) + 2 (- 2)$ heraus.

$2 (- 3 x - 2) = 0$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 3 x - 2) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (- 3 x - 2) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (- 3 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $- 3 x - 2$ durch $1$ .

$- 3 x - 2 = \frac{0}{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$- 3 x - 2 = 0$

Schritt 11

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = 2$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 2$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{- 3}$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 13

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (4 x - 8) = 3 + \log_{2} (2 x)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$