Finite Mathematik Beispiele

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ mit $\frac{x}{9 x - 4}$ .

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Schritt 7

Stelle die Faktoren in $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ um.

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Schritt 8

Schreibe $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

Schritt 9

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

Schritt 10

Vereinfache $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ .

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Schritt 10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

Schritt 10.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

Schritt 10.3

Multipliziere $(x + 2) (9 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

Schritt 10.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

Schritt 10.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10.4.1.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10.4.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

Schritt 10.4.2

Addiere $- 4 x$ und $18 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

Schritt 10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6

Vereinfache.

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Schritt 10.6.1

Multipliziere $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ .

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Schritt 10.6.1.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{4}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.1.2

Kombiniere $\frac{9}{4}$ und $x^{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.4

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Schritt 10.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.6.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Schritt 10.6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Schritt 10.6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

Schritt 11

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $\frac{9 x^{2}}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

Schritt 11.2

Subtrahiere $\frac{7 x}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.3.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.4.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.4

Um $3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.5

Kombiniere $3 x^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.7

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.7.1

Schreibe $x$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.7.2

Mutltipliziere $\frac{x}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.7.3

Mutltipliziere $\frac{x}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Schritt 11.7.4

Mutltipliziere $\frac{7 x}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

Schritt 11.7.5

Mutltipliziere $\frac{7 x}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

Schritt 11.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Schritt 11.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Schritt 11.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.9.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Schritt 11.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Schritt 11.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

Schritt 11.10

Subtrahiere $14 x$ von $4 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Schritt 11.11

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Schritt 11.12

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 10 x$ heraus.

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Schritt 11.12.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

Schritt 11.12.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

Schritt 11.12.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 10$ heraus.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

Schritt 12

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 13.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.1.1.1.3

Stelle um.

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Schritt 13.1.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.1.1.1.3.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

Schritt 14

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Schritt 14.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 14.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 14.2.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Schritt 14.2.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 4$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

Schritt 14.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

Schritt 14.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 14.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

Schritt 14.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

Schritt 14.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

Schritt 14.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 14.4

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.4.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 14.4.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 14.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 14.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 14.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 14.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 14.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 14.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 14.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4}{3}, 2$

Dezimalform:

$x = 1.\overline{3}, 2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$