Finite Mathematik Beispiele

$e^{2 x + 10} = 5^{\frac{3 x}{11}}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 x + 10}) = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{2 x + 10})$ durch Herausziehen von $2 x + 10$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 10) \ln (e) = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 x + 10) \cdot 1 = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2 x + 10$ mit $1$ .

$2 x + 10 = \ln (5^{\frac{3 x}{11}})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Zerlege $\ln (5^{\frac{3 x}{11}})$ durch Herausziehen von $\frac{3 x}{11}$ aus dem Logarithmus.

$2 x + 10 = \frac{3 x}{11} \ln (5)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{3 x}{11}$ und $\ln (5)$ .

$2 x + 10 = \frac{3 x \ln (5)}{11}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $11$ .

$(2 x + 10) \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $(2 x + 10) \cdot 11$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot 11 + 10 \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Schritt 5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 5.1.1.2.1

Mutltipliziere $11$ mit $2$ .

$22 x + 10 \cdot 11 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Schritt 5.1.1.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$22 x + 110 = \frac{3 x \ln (5)}{11} \cdot 11$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 \ln (5)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$22 x + 110 = \frac{x \ln (5^{3})}{11} \cdot 11$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$22 x + 110 = \frac{x \ln (125)}{11} \cdot 11$

Schritt 5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$22 x + 110 = \frac{x \ln (125)}{11} \cdot 11$

Schritt 5.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$22 x + 110 = x \ln (125)$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x \ln (125)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$22 x + 110 - x \ln (125) = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $110$ von beiden Seiten der Gleichung.

$22 x - x \ln (125) = - 110$

Schritt 6.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $x$ aus $22 x - x \ln (125)$ heraus.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $22 x$ heraus.

$x \cdot 22 - x \ln (125) = - 110$

Schritt 6.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (125)$ heraus.

$x \cdot 22 + x (- 1 \ln (125)) = - 110$

Schritt 6.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 22 + x (- 1 \ln (125))$ heraus.

$x (22 - 1 \ln (125)) = - 110$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 1 \ln (125)$ als $- \ln (125)$ um.

$x (22 - \ln (125)) = - 110$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $x (22 - \ln (125)) = - 110$ durch $22 - \ln (125)$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (22 - \ln (125)) = - 110$ durch $22 - \ln (125)$ .

$\frac{x (22 - \ln (125))}{22 - \ln (125)} = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $22 - \ln (125)$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (22 - \ln (125))}{22 - \ln (125)} = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 110}{22 - \ln (125)}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{110}{22 - \ln (125)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{110}{22 - \ln (125)}$

Dezimalform:

$x = - 6.40589388 \dots$