Finite Mathematik Beispiele

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 7$ , $b = - 14$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $- 3$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.3

Addiere $196$ und $84$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $280$ als $2^{2} \cdot 70$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $280$ heraus.

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ .

$x = - 0.19649053$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Schritt 10.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.19649053$ .

$x = 3.33808319$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.19649053$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.19649053 + 2 π$

Schritt 10.6.2

Subtrahiere $0.19649053$ von $2 π$ .

$6.08669476$

Schritt 10.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.08669476$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$