Finite Mathematik Beispiele

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

Schritt 1

Schreibe $7^{- x}$ als Potenz um.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

Schritt 2

Ersetze $7^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 50$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 50$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 50$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 1 = 50 u$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $50 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

Schritt 4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 50$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.1.1

Potenziere $- 50$ mit $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.4

Schreibe $2496$ als $8^{2} \cdot 39$ um.

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Schritt 4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $2496$ heraus.

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

Schritt 4.3.4.3

Vereinfache $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

Schritt 5

Setze $25 + 4 \sqrt{39}$ für $u$ in $u = 7^{x}$ ein.

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Schritt 6

Löse $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ um.

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Schritt 6.3

Zerlege $\ln (7^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 7

Setze $25 - 4 \sqrt{39}$ für $u$ in $u = 7^{x}$ ein.

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Schritt 8

Löse $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ um.

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Schritt 8.3

Zerlege $\ln (7^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Dezimalform:

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$