Finite Mathematik Beispiele

$| x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} | = 7$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = \pm 7$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Schritt 2.2

Vereinfache $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Schritt 2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Schritt 2.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Schritt 2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = 7$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2$

Schritt 2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 7 \cdot 2$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = 14$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14 = 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} - 14$ .

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 - 14 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Subtrahiere $14$ von $- 1$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 2.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.5.6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5$

Schritt 2.6

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Schritt 2.7

Vereinfache $x^{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Schritt 2.7.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Schritt 2.7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Schritt 2.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} = - 7$

Schritt 2.8

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} - {(x - 1)}^{2}}{2} \cdot 2 = - 7 \cdot 2$

Schritt 2.9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 7 \cdot 2$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 14$

Schritt 2.10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.10.1.1

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2

Vereinfache $2 x^{2} - {(x - 1)}^{2} + 14$ .

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Schritt 2.10.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1.2.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$2 x^{2} - ((x - 1) (x - 1)) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - x - x + 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2 x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 + 14 = 0$

Schritt 2.10.1.2.3

Addiere $- 1$ und $14$ .

$x^{2} + 2 x + 13 = 0$

Schritt 2.10.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.10.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4

Vereinfache.

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Schritt 2.10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 2.10.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.3

Subtrahiere $52$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.10.4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.10.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.10.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 5, - 1 + 2 i \sqrt{3}, - 1 - 2 i \sqrt{3}$