Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 1, x + 1, 1, (x + 1) (x - 1)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Das kgV von $x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x - 1) (x + 1)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ mit $(x - 1) (x + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ mit $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 1 - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x + 1}$ in den Zähler.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x - 1) (x + 1)$ heraus.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x + 1 - (x - 1) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 - x - - 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 - x + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x + 1$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 + 1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $(x - 1) (x + 1)$ mit $1$ .

$2 = (x - 1) (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = x (x + 1) - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$2 = x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$2 = x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$2 = x \cdot x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 = x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x - 1) (x + 1)$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $(x - 1) (x + 1)$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 = x^{2} - 1 + 2$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$2 = x^{2} + 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 1 = 2$ um.

$x^{2} + 1 = 2$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2 - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$