Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ als $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ um.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ als $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ um.

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (27^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (3^{- 2 x})$ durch Herausziehen von $- 2 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 7

Subtrahiere $2 x \ln (27)$ von $0$ .

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 9

Entferne die Klammern.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Schritt 10

Zerlege $\ln (81^{x^{2} - 2})$ durch Herausziehen von $x^{2} - 2$ aus dem Logarithmus.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (27)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Schritt 11.2.1.1.2

Potenziere $27$ mit $2$ .

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Schritt 11.2.1.1.3

Vereinfache $- 2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Schritt 11.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Schritt 11.2.1.2

Stelle die Faktoren in $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ um.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (81)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

Schritt 11.3.1.2

Potenziere $81$ mit $2$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

Schritt 11.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

Schritt 11.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.6

Setze die Werte $a = - \ln (81)$ , $b = - \ln (729) - \ln (9)$ und $c = \ln (6561)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7

Vereinfache.

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Schritt 11.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.2

Multipliziere $- - \ln (729)$ .

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Schritt 11.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (729)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.3

Multipliziere $- - \ln (9)$ .

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Schritt 11.7.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (9)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.4

Schreibe ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ als $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ um.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.5

Multipliziere $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.7.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.7.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.2

Multipliziere $\ln (729)$ mit $\ln (729)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.7.1.6.1.2.1

Bewege $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (729)$ mit $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.4

Mutltipliziere $\ln^{2} (729)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.7

Mutltipliziere $\ln (729)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.10

Mutltipliziere $\ln (9)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.12

Multipliziere $\ln (9)$ mit $\ln (9)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.7.1.6.1.12.1

Bewege $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.12.2

Mutltipliziere $\ln (9)$ mit $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.1.14

Mutltipliziere $\ln^{2} (9)$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.2

Addiere $\ln (729) \ln (9)$ und $\ln (9) \ln (729)$ .

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Schritt 11.7.1.6.2.1

Stelle $\ln (729)$ und $\ln (9)$ um.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.6.2.2

Addiere $\ln (9) \ln (729)$ und $\ln (9) \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Schritt 11.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

Schritt 11.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Schritt 11.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

Dezimalform:

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$