Finite Mathematik Beispiele

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

Schritt 2

Subtrahiere $| x^{3} + 1 |$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ mit $4$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

Schritt 4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = | x^{3} + 1 |$ und $b = 2$ .

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

Schritt 6

Setze $| x^{3} + 1 | - 2$ gleich $0$ .

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

Schritt 7

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| x^{3} + 1 | = 2$

Schritt 8

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{3} + 1 = \pm 2$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x^{3} + 1 = 2$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 2 - 1$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x^{3} = 1$

Schritt 9.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 1 = 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 9.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 9.4.3

Vereinfache.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Schritt 9.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 9.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 9.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 9.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9.7

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.7.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 9.7.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 9.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.9

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x^{3} + 1 = - 2$

Schritt 9.10

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.10.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 2 - 1$

Schritt 9.10.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$x^{3} = - 3$

Schritt 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Schritt 9.12

Vereinfache $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Schritt 9.12.1

Schreibe $- 3$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 9.12.1.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Schritt 9.12.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Schritt 9.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Schritt 9.12.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{3}$ als $- \sqrt[3]{3}$ um.

$x = - \sqrt[3]{3}$

Schritt 9.13

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

Schritt 10