Finite Mathematik Beispiele

$\frac{2 x + b}{3 a - b} = \frac{x - a}{b - 3 a}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $(2 x + b) (b - 3 a)$ .

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Schritt 2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + b) (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $(2 x + b) (b - 3 a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (b - 3 a) + b (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x b + 2 x (- 3 a) + b (b - 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x b + 2 x (- 3 a) + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x b + 2 \cdot - 3 x a + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$2 x b - 6 x a + b \cdot b + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} + b (- 3 a) = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = (3 a - b) (x - a)$

Schritt 2.2

Vereinfache $(3 a - b) (x - a)$ .

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(3 a - b) (x - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a (x - a) - b (x - a)$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 a (- a) - b (x - a)$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 a (- a) - b x - b (- a)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 a \cdot a - b x - b (- a)$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.2.1

Bewege $a$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 (a \cdot a) - b x - b (- a)$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x + 3 \cdot - 1 a^{2} - b x - b (- a)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x - b (- a)$

Schritt 2.2.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x - 1 \cdot - 1 b a$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x + 1 b a$

Schritt 2.2.2.6

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a = 3 a x - 3 a^{2} - b x + b a$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $3 a x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x = - 3 a^{2} - b x + b a$

Schritt 2.3.2

Addiere $b x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x b - 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + b x = - 3 a^{2} + b a$

Schritt 2.3.3

Addiere $2 x b$ und $b x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Bewege $x$ .

$- 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + 2 b x + b x = - 3 a^{2} + b a$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $2 b x$ und $b x$ .

$- 6 x a + b^{2} - 3 b a - 3 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $3 a x$ von $- 6 x a$ .

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Schritt 2.3.4.1

Bewege $x$ .

$b^{2} - 3 b a - 6 a x - 3 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $3 a x$ von $- 6 a x$ .

$b^{2} - 3 b a - 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a$

Schritt 2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $b^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 b a - 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a - b^{2}$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 b a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} + b a - b^{2} + 3 b a$

Schritt 2.4.3

Addiere $b a$ und $3 b a$ .

$- 9 a x + 3 b x = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Schritt 2.5

Faktorisiere $3 x$ aus $- 9 a x + 3 b x$ heraus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 9 a x$ heraus.

$3 x (- 3 a) + 3 b x = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 b x$ heraus.

$3 x (- 3 a) + 3 x (b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (- 3 a) + 3 x (b)$ heraus.

$3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$ durch $3 (- 3 a + b)$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x (- 3 a + b) = - 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a$ durch $3 (- 3 a + b)$ .

$\frac{3 x (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- 3 a + b)}{- 3 a + b} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 a + b$ .

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Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 3 a + b)}{- 3 a + b} = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.6.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 a^{2}$ heraus.

$x = \frac{3 (- a^{2})}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 (- a^{2})}{3 (- 3 a + b)} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- a^{2}}{- 3 a + b} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} + \frac{- b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.2

Um $- \frac{a^{2}}{- 3 a + b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{a^{2}}{- 3 a + b} \cdot \frac{3}{3} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- 3 a + b) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{a^{2}}{- 3 a + b}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{a^{2} \cdot 3}{(- 3 a + b) \cdot 3} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(- 3 a + b) \cdot 3$ um.

$x = - \frac{a^{2} \cdot 3}{3 (- 3 a + b)} - \frac{b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- a^{2} \cdot 3 - b^{2}}{3 (- 3 a + b)} + \frac{4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- a^{2} \cdot 3 - b^{2} + 4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} - b^{2} + 4 b a}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.6.3.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.6.3.7.1.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{- 3 a^{2} - b^{2} + 4 a b}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.1.2

Stelle $- b^{2}$ und $4 a b$ um.

$x = \frac{- 3 a^{2} + 4 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 a b$ heraus.

$x = \frac{- 3 a^{2} + 4 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.1.4

Schreibe $4$ um als $1$ plus $3$

$x = \frac{- 3 a^{2} + (1 + 3) (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 3 a^{2} + 1 (a b) + 3 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.1.6

Mutltipliziere $a b$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 a^{2} + a b + 3 (a b) - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.1.7

Versetze die Klammern.

$x = \frac{- 3 a^{2} + a b + 3 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.6.3.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x = \frac{(- 3 a^{2} + a b) + 3 a b - b^{2}}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x = \frac{a (- 3 a + b) - b (- 3 a + b)}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 a + b$ .

$x = \frac{(- 3 a + b) (a - b)}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 a + b$ .

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Schritt 2.6.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{(- 3 a + b) (a - b)}{3 (- 3 a + b)}$

Schritt 2.6.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{a - b}{3}$