Finite Mathematik Beispiele

$3^{x + 1} = 5^{x - 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (5^{x - 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (3^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x - 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (3)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.2

Vereinfache $(x - 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) - 1 \ln (5)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) - \ln (5)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (5)$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ heraus.

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$ durch $\ln (3) - \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$ durch $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5) - \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (5) + \ln (3))}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.5.1

Schreibe $- (\ln (5) + \ln (3))$ als $- 1 (\ln (5) + \ln (3))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (5) + \ln (3))}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 4.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (5) + \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (5) + \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 5.30132020 \dots$