Finite Mathematik Beispiele

$x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 1.3

Setze $5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $5$ in das Polynom ein.

$5^{3} - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Schritt 1.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Schritt 1.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 - 7 \cdot 25 + 6 \cdot 5 + 20$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $25$ .

$125 - 175 + 6 \cdot 5 + 20$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $175$ von $125$ .

$- 50 + 6 \cdot 5 + 20$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$- 50 + 30 + 20$

Schritt 1.3.7

Addiere $- 50$ und $30$ .

$- 20 + 20$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 20$ und $20$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20}{x - 5}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ durch $x - 5$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$20$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 10 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							-	$4 x$	+	$20$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x + 20$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Setze $x^{2} - 2 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} - 2 x - 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 5, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$