Finite Mathematik Beispiele

$16 (5^{x}) - x^{2} \cdot 5^{x} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5^{x}$ aus $16 \cdot 5^{x} - x^{2} \cdot 5^{x}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $5^{x}$ aus $16 \cdot 5^{x}$ heraus.

$5^{x} \cdot 16 - x^{2} \cdot 5^{x} = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $5^{x}$ aus $- x^{2} \cdot 5^{x}$ heraus.

$5^{x} \cdot 16 + 5^{x} \cdot (- x^{2}) = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $5^{x}$ aus $5^{x} \cdot 16 + 5^{x} \cdot (- x^{2})$ heraus.

$5^{x} (16 - x^{2}) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$5^{x} (4^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$5^{x} ((4 + x) (4 - x)) = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$5^{x} (4 + x) (4 - x) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5^{x} = 0$

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Schritt 3

Setze $5^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $5^{x}$ gleich $0$ .

$5^{x} = 0$

Schritt 3.2

Löse $5^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.3

Es gibt keine Lösung für $5^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $4 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 + x$ gleich $0$ .

$4 + x = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Setze $4 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 - x$ gleich $0$ .

$4 - x = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5^{x} (4 + x) (4 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$