Finite Mathematik Beispiele

12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}

$12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

ln (12 e^{6.8 x}) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12 e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe

ln (12 e^{6.8 x})

$\ln (12 e^{6.8 x})$ als

ln (12) + ln (e^{6.8 x})

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x})$ um.

ln (12) + ln (e^{6.8 x}) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Schritt 2.2

Zerlege

ln (e^{6.8 x})

$\ln (e^{6.8 x})$ durch Herausziehen von

6.8 x

$6.8 x$ aus dem Logarithmus.

ln (12) + 6.8 x ln (e) = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x \ln (e) = \ln (8 e^{3 x})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = \ln (8 e^{3 x})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere

6.8

$6.8$ mit

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

ln (12) + 6.8 x = ln (8 e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe

ln (8 e^{3 x})

$\ln (8 e^{3 x})$ als

ln (8) + ln (e^{3 x})

$\ln (8) + \ln (e^{3 x})$ um.

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + ln (e^{3 x})

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + \ln (e^{3 x})$

Schritt 3.2

Zerlege

ln (e^{3 x})

$\ln (e^{3 x})$ durch Herausziehen von

3 x

$3 x$ aus dem Logarithmus.

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x ln (e)

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x \cdot 1

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

ln (12) + 6.8 x = ln (8) + 3 x

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

ln (12) - ln (8) = - 6.8 x + 3 x

$\ln (12) - \ln (8) = - 6.8 x + 3 x$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$12$ und

$8$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere

$4$ aus

$12$ heraus.

$\ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere

$4$ aus

$8$ heraus.

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{3}{2}) = - 6.8 x + 3 x$

Schritt 7

Addiere

$- 6.8 x$ und

$3 x$ .

$\ln (\frac{3}{2}) = - 3.8 x$

Schritt 8

$x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ durch

$- 3.8$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ durch

$- 3.8$ .

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 3.8$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{3.8}$

Schritt 9.3.2

Ersetze

$e$ durch eine Näherung.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{2})}{3.8}$

Schritt 9.3.3

Dividiere

$3$ durch

$2$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (1.5)}{3.8}$

Schritt 9.3.4

Die logarithmische Basis

$2.71828182$ von

$1.5$ ist ungefähr

$0.4054651$ .

$x = - \frac{0.4054651}{3.8}$

Schritt 9.3.5

Dividiere

$0.4054651$ durch

$3.8$ .

$x = - 1 \cdot 0.10670134$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0.10670134$ .

$x = - 0.10670134$