Finite Mathematik Beispiele

$2 \ln (x) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (x + 4) + \ln (2 x)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((x + 4) (2 x))$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x^{2}) = \ln (x (2 x) + 4 (2 x))$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 4 (2 x))$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 8 x)$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 8 x)$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 8 x)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = 2 x^{2} + 8 x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} + 8 x = x^{2}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 8 x - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 8 x = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + 8 x = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 8$ heraus.

$x (x + 8) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.6

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 8$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \ln (x) = \ln (x + 4) + \ln (2 x)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$