Finite Mathematik Beispiele

$20 x - 9 = \frac{20}{x}$

Schritt 1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$20 x = \frac{20}{x} + 9$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $20 x = \frac{20}{x} + 9$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $20 x = \frac{20}{x} + 9$ mit $x$ .

$20 x \cdot x = \frac{20}{x} x + 9 x$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Bewege $x$ .

$20 (x \cdot x) = \frac{20}{x} x + 9 x$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$20 x^{2} = \frac{20}{x} x + 9 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 x^{2} = \frac{20}{x} x + 9 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$20 x^{2} = 20 + 9 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{2} - 9 x = 20$

Schritt 4.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 20 \cdot - 20 = - 400$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 9$ um als $16$ plus $- 25$

$20 x^{2} + (16 - 25) x - 20 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$20 x^{2} + 16 x - 25 x - 20 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(20 x^{2} + 16 x) - 25 x - 20 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 4$ .

$(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Schritt 4.5

Setze $5 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Setze $5 x + 4$ gleich $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $5 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 4$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{5}$

Schritt 4.6

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $4 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$x = - 0.8, 1.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - \frac{4}{5}, 1 \frac{1}{4}$