Finite Mathematik Beispiele

$2 \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(2 \sqrt[3]{x})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{1} = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$8 x = {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$8 x = {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x = x^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$8 x = x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x = x^{\frac{6}{3}}$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$8 x = x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Schritt 2.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$8 x = x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Schritt 2.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x = x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Schritt 2.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x = x^{\frac{2}{1}}$

Schritt 2.3.1.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$8 x = x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$8 u - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $u$ aus $8 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $8 u$ heraus.

$u \cdot 8 - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 8 + u (- u) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 8 + u (- u)$ heraus.

$u (8 - u) = 0$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (8 - x) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$8 - x = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $8 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $8 - x$ gleich $0$ .

$8 - x = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $8 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (8 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8$