Finite Mathematik Beispiele

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log_{4} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (x^{2}) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$

Schritt 3

Schreibe $\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} = 4 (x - 1)$

Schritt 5

Vereinfache $4 (x - 1)$ .

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 4 x + 4 \cdot - 1$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{2} = 4 x - 4$

Schritt 6

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x = - 4$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 4 x = - 4$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x - 4) = - 4$

Schritt 8

Vereinfache $x (x - 4)$ .

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = - 4$

Schritt 8.2.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 4 x = - 4$

Schritt 9

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Schritt 10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Schritt 10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 10.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Schritt 10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 11

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$