Finite Mathematik Beispiele

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 5$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3

Subtrahiere $32$ von $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 3.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 4

Setze $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Schritt 5

Löse $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ um.

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 5.4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ als $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ um.

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Schritt 5.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Schritt 5.4.3

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Schritt 5.4.4

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Schritt 5.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Schritt 5.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Schritt 5.5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Schritt 6

Setze $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ um.

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 7.4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ als $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ um.

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Schritt 7.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Schritt 7.4.3

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Schritt 7.4.4

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Schritt 7.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Schritt 7.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Schritt 7.5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$