Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} - 2 x r + w^{2} = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 r$ und $c = w^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 r \pm \sqrt{{(- 2 r)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot w^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot w^{2}$ als ${(2 \cdot 1 w)}^{2}$ um.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{{(- 2 r)}^{2} - {(2 \cdot (1 w))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 r$ und $b = 2 \cdot 1 w$ .

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{(- 2 r + 2 \cdot (1 w)) (- 2 r - (2 \cdot (1 w)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 r + 2 \cdot 1 w$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 r$ heraus.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{(2 (- r) + 2 \cdot (1 w)) (- 2 r - (2 \cdot (1 w)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 w$ heraus.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{(2 (- r) + 2 (1 w)) (- 2 r - (2 \cdot (1 w)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- r) + 2 (1 w)$ heraus.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + 1 w) (- 2 r - (2 \cdot (1 w)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $w$ mit $1$ .

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) (- 2 r - (2 \cdot (1 w)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) (- 2 r - (2 w))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) (- 2 r - 2 w)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 r - 2 w$ heraus.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 r$ heraus.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) (2 (- r) - 2 w)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 w$ heraus.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) (2 (- r) + 2 (- w))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- r) + 2 (- w)$ heraus.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) (2 (- r - w))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2 (- r + w) \cdot (2 (- r - w))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{4 (- r + w) (- r - w)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $4 (- r + w) (- r - w)$ als $2^{2} ((- r + w) (- r - w))$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2^{2} (- r + w) (- r - w)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 r \pm \sqrt{2^{2} ((- r + w) (- r - w))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 r \pm 2 \sqrt{(- r + w) (- r - w)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 r \pm 2 \sqrt{(- r + w) (- r - w)}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{2 r \pm 2 \sqrt{(- r + w) (- r - w)}}{2}$ .

$x = r \pm \sqrt{(- r + w) (- r - w)}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = r + \sqrt{(- r + w) (- r - w)}$

$x = r - \sqrt{(- r + w) (- r - w)}$