Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{3} + x^{2} = 64 x + 16$

Schritt 1

Subtrahiere $64 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + x^{2} - 64 x = 16$

Schritt 2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + x^{2} - 64 x - 16 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{3} + x^{2}) - 64 x - 16 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (4 x + 1) - 16 (4 x + 1) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(4 x + 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(4 x + 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(4 x + 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 5

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, - 4, 4$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{4}, - 4, 4$

Dezimalform:

$x = - 0.25, - 4, 4$