Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} - 8 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 2 y$ und $c = 5 y^{2} - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2

Es sei $u = 4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ . Ersetze $u$ für alle $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 y$ an.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 \cdot (5 y^{2} - 8)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 (5 y^{2}) + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} - 32))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2}) + 32)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5.1.5

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 32$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5.2

Subtrahiere $20 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{y + \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$