Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 32 x - 36 y + 64 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 32$ und $c = 9 y^{2} - 36 y + 64$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (9 y^{2} - 36 y + 64))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 4 \cdot (9 y^{2} - 36 y + 64)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 \cdot (9 y^{2} - 36 y + 64)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 16 (9 y^{2}) - 16 (- 36 y) - 16 \cdot 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 16$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 144 y^{2} - 16 (- 36 y) - 16 \cdot 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 16$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 144 y^{2} + 576 y - 16 \cdot 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $64$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 144 y^{2} + 576 y - 1024}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $1024$ von $1024$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{- 144 y^{2} + 576 y + 0}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6

Addiere $- 144 y^{2} + 576 y$ und $0$ .

$x = \frac{32 \pm \sqrt{- 144 y^{2} + 576 y}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $144 y$ aus $- 144 y^{2} + 576 y$ heraus.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $144 y$ aus $- 144 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{144 y (- y) + 576 y}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.2

Faktorisiere $144 y$ aus $576 y$ heraus.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{144 y (- y) + 144 y (4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.3

Faktorisiere $144 y$ aus $144 y (- y) + 144 y (4)$ heraus.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{144 y (- y + 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $144 y (- y + 4)$ als $12^{2} (y (- y + 2^{2}))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{12^{2} y (- y + 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{12^{2} y (- y + 2^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{32 \pm \sqrt{12^{2} (y (- y + 2^{2}))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{32 \pm 12 \sqrt{y (- y + 2^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{32 \pm 12 \sqrt{y (- y + 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{32 \pm 12 \sqrt{y (- y + 4)}}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{32 \pm 12 \sqrt{y (- y + 4)}}{8}$ .

$x = \frac{8 \pm 3 \sqrt{y (- y + 4)}}{2}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{8 + 3 \sqrt{y (- y + 4)}}{2}$

$x = \frac{8 - 3 \sqrt{y (- y + 4)}}{2}$