Finite Mathematik Beispiele

$24 c^{2} (2 c - 7) = - 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$

Schritt 1

Da $c$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2

Vereinfache $- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 35 (2 c) - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 35$ .

$- 70 c - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 7$ .

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c) - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 58$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.7.1

Multipliziere $c$ mit $c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.7.1.1

Bewege $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 (c \cdot c) + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.7.1.2

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $- 58$ mit $2$ .

$- 70 c + 245 - 116 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 2.2

Addiere $- 70 c$ und $406 c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Schritt 3

Vereinfache $24 c^{2} (2 c - 7)$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c) + 24 c^{2} \cdot - 7$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c + 24 c^{2} \cdot - 7$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $24$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c - 168 c^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $c^{2}$ mit $c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1

Bewege $c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c \cdot c^{2}) - 168 c^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $c$ mit $c^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Potenziere $c$ mit $1$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c^{1} c^{2}) - 168 c^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{1 + 2} - 168 c^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{3} - 168 c^{2}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 48 c^{3} - 168 c^{2}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $c$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $48 c^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} = - 168 c^{2}$

Schritt 4.2

Addiere $168 c^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} + 168 c^{2} = 0$

Schritt 4.3

Addiere $- 116 c^{2}$ und $168 c^{2}$ .

$336 c + 245 - 48 c^{3} + 52 c^{2} = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Schritt 5.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0625, \pm 0.25, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.125, \pm 245, \pm 5.1041\overline{6}, \pm 122.5, \pm 10.208\overline{3}, \pm 81.\overline{6}, \pm 15.3125, \pm 61.25, \pm 20.41\overline{6}, \pm 40.8\overline{3}, \pm 30.625, \pm 5, \pm 0.1041\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.208\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 0.3125, \pm 1.25, \pm 0.41\overline{6}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 0.625, \pm 49, \pm 1.0208\overline{3}, \pm 24.5, \pm 2.041\overline{6}, \pm 16.\overline{3}, \pm 3.0625, \pm 12.25, \pm 4.08\overline{3}, \pm 8.1\overline{6}, \pm 6.125, \pm 7, \pm 0.1458\overline{3}, \pm 3.5, \pm 0.291\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 0.4375, \pm 1.75, \pm 0.58\overline{3}, \pm 1.1\overline{6}, \pm 0.875, \pm 35, \pm 0.7291\overline{6}, \pm 17.5, \pm 1.458\overline{3}, \pm 11.\overline{6}, \pm 2.1875, \pm 8.75, \pm 2.91\overline{6}, \pm 5.8\overline{3}, \pm 4.375$

Schritt 5.2.3

Setze $- 1.25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1.25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.2.3.1

Setze $- 1.25$ in das Polynom ein.

$- 48 {(- 1.25)}^{3} + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $- 1.25$ mit $3$ .

$- 48 \cdot - 1.953125 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1.953125$ .

$93.75 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $- 1.25$ mit $2$ .

$93.75 + 52 \cdot 1.5625 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $52$ mit $1.5625$ .

$93.75 + 81.25 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $93.75$ und $81.25$ .

$175 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Schritt 5.2.3.7

Mutltipliziere $336$ mit $- 1.25$ .

$175 - 420 + 245$

Schritt 5.2.3.8

Subtrahiere $420$ von $175$ .

$- 245 + 245$

Schritt 5.2.3.9

Addiere $- 245$ und $245$ .

$0$

Schritt 5.2.4

Da $- 1.25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 c + 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245}{4 c + 5}$

Schritt 5.2.5

Dividiere $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ durch $4 c + 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 c$

$5$

$48 c^{3}$

$52 c^{2}$

$336 c$

$245$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 48 c^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 c$ .

				-	$12 c^{2}$
	$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$

Schritt 5.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			-	$48 c^{3}$	-	$60 c^{2}$

Schritt 5.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 48 c^{3} - 60 c^{2}$

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$

Schritt 5.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$

Schritt 5.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Schritt 5.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $112 c^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Schritt 5.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					+	$112 c^{2}$	+	$140 c$

Schritt 5.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $112 c^{2} + 140 c$

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$

Schritt 5.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$

Schritt 5.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Schritt 5.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $196 c$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Schritt 5.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							+	$196 c$	+	$245$

Schritt 5.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $196 c + 245$

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$

Schritt 5.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$
										$0$

Schritt 5.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 12 c^{2} + 28 c + 49$

Schritt 5.2.6

Schreibe $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ als eine Menge von Faktoren.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 c + 49) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 12 \cdot 49 = - 588$ und deren Summe gleich $b = 28$ ist.

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Schritt 5.3.1.1.1

Faktorisiere $28$ aus $28 c$ heraus.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 (c) + 49) = 0$

Schritt 5.3.1.1.2

Schreibe $28$ um als $- 14$ plus $42$

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + (- 14 + 42) c + 49) = 0$

Schritt 5.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} - 14 c + 42 c + 49) = 0$

Schritt 5.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 c + 5) ((- 12 c^{2} - 14 c) + 42 c + 49) = 0$

Schritt 5.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(4 c + 5) (2 c (- 6 c - 7) - 7 (- 6 c - 7)) = 0$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 6 c - 7$ .

$(4 c + 5) ((- 6 c - 7) (2 c - 7)) = 0$

Schritt 5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 c + 5 = 0$

$- 6 c - 7 = 0$

$2 c - 7 = 0$

Schritt 7

Setze $4 c + 5$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $4 c + 5$ gleich $0$ .

$4 c + 5 = 0$

Schritt 7.2

Löse $4 c + 5 = 0$ nach $c$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 c = - 5$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 c = - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 c = - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- 5}{4}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = - \frac{5}{4}$

Schritt 8

Setze $- 6 c - 7$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $- 6 c - 7$ gleich $0$ .

$- 6 c - 7 = 0$

Schritt 8.2

Löse $- 6 c - 7 = 0$ nach $c$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 c = 7$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 c = 7$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 c = 7$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{7}{- 6}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = - \frac{7}{6}$

Schritt 9

Setze $2 c - 7$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $2 c - 7$ gleich $0$ .

$2 c - 7 = 0$

Schritt 9.2

Löse $2 c - 7 = 0$ nach $c$ auf.

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Schritt 9.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 c = 7$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 c = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 c = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{7}{2}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$ wahr machen.

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Dezimalform:

$c = - 1.25, - 1.1\overline{6}, 3.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$c = - 1 \frac{1}{4}, - 1 \frac{1}{6}, 3 \frac{1}{2}$