Finite Mathematik Beispiele

${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Schritt 1

Vereinfache ${(\frac{2 c - 3}{5})}^{2} + 2 (\frac{2 c - 3}{5})$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 c - 3}{5}$ an.

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{5^{2}} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Schritt 1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + 2 (\frac{2 c - 3}{5}) = 8$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2 c - 3}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} = 8$

Schritt 1.2

Um $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3)}{5} \cdot \frac{5}{5} = 8$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (2 c - 3)}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{5 \cdot 5} = 8$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{{(2 c - 3)}^{2}}{25} + \frac{2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2 c - 3$ aus ${(2 c - 3)}^{2} + 2 (2 c - 3) \cdot 5$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2 c - 3$ aus ${(2 c - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + 2 (2 c - 3) \cdot 5}{25} = 8$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $2 c - 3$ aus $2 (2 c - 3) \cdot 5$ heraus.

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)}{25} = 8$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $2 c - 3$ aus $(2 c - 3) (2 c - 3) + (2 c - 3) (2 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 2 \cdot 5)}{25} = 8$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c - 3 + 10)}{25} = 8$

Schritt 1.5.3

Addiere $- 3$ und $10$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} = 8$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $25$ .

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 c - 3) (2 c + 7)}{25} \cdot 25 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 c - 3) (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere $(2 c - 3) (2 c + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 c (2 c + 7) - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c + 7) = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 c (2 c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Multipliziere $c$ mit $c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.1.2.1

Bewege $c$ .

$2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 c^{2} + 2 c \cdot 7 - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$4 c^{2} + 14 c - 3 (2 c) - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 3 \cdot 7 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$4 c^{2} + 14 c - 6 c - 21 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.1.1.3.2

Subtrahiere $6 c$ von $14 c$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 8 \cdot 25$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $25$ .

$4 c^{2} + 8 c - 21 = 200$

Schritt 4

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $200$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 c^{2} + 8 c - 21 - 200 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $200$ von $- 21$ .

$4 c^{2} + 8 c - 221 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 221 = - 884$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 c$ heraus.

$4 c^{2} + 8 (c) - 221 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $8$ um als $- 26$ plus $34$

$4 c^{2} + (- 26 + 34) c - 221 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 c^{2} - 26 c + 34 c - 221 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 c^{2} - 26 c) + 34 c - 221 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 c (2 c - 13) + 17 (2 c - 13) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 c - 13$ .

$(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 c - 13 = 0$

$2 c + 17 = 0$

Schritt 4.5

Setze $2 c - 13$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $2 c - 13$ gleich $0$ .

$2 c - 13 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $2 c - 13 = 0$ nach $c$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 c = 13$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 c = 13$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 c = 13$ durch $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 c}{2} = \frac{13}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{13}{2}$

Schritt 4.6

Setze $2 c + 17$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $2 c + 17$ gleich $0$ .

$2 c + 17 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $2 c + 17 = 0$ nach $c$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 c = - 17$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 c = - 17$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 c = - 17$ durch $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 c}{2} = \frac{- 17}{2}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- 17}{2}$

Schritt 4.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = - \frac{17}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 c - 13) (2 c + 17) = 0$ wahr machen.

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$c = \frac{13}{2}, - \frac{17}{2}$

Dezimalform:

$c = 6.5, - 8.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$c = 6 \frac{1}{2}, - 8 \frac{1}{2}$