Finite Mathematik Beispiele

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ um.

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Schritt 3

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{27}{64}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{27}{64}$ als ${(\frac{3}{4})}^{3}$ um.

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = b$ und $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $b$ und $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Schritt 3.2.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Schritt 3.2.3.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Schritt 3.4

Setze $b - \frac{3}{4}$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $b - \frac{3}{4}$ gleich $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $\frac{3}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = \frac{3}{4}$

Schritt 3.5

Setze $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ gleich $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $16$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.3

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 12$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Schritt 3.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.3

Subtrahiere $576$ von $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.4

Schreibe $- 432$ als $- 1 (432)$ um.

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (432)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ um.

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.7

Schreibe $432$ als $12^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 3.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 3.5.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ wahr machen.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$