Finite Mathematik Beispiele

$\log_{b} (x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (4) + \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (125) - \log_{b} (10)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log_{b} (4)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2}{3} \log_{b} (125) - \log_{b} (10)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\log_{b} (125)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} - \log_{b} (10)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} - \log_{b} (10)$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} - \log_{b} (10)$ mit $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 (3)) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (4) \cdot 3 + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log_{b} (4)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot (3 (2)) - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot (3 \cdot 2) - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 2 \log_{b} (125) \cdot 2 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - \log_{b} (10) \cdot 6$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache $6 \log_{b} (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache $3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{b} (4)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4^{3}) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $4 \log_{b} (125)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (125^{4}) - 6 \log_{b} (10)$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $125$ mit $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (244140625) - 6 \log_{b} (10)$

Schritt 4.1.1.5

Vereinfache $- 6 \log_{b} (10)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (244140625) - \log_{b} (10^{6})$

Schritt 4.1.1.6

Potenziere $10$ mit $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (244140625) - \log_{b} (1000000)$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64 \cdot 244140625) - \log_{b} (1000000)$

Schritt 4.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 244140625}{1000000})$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $1000000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $64 \cdot 244140625$ heraus.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (244140625)}{1000000})$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $64$ aus $1000000$ heraus.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 244140625}{64 \cdot 15625})$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 244140625}{64 \cdot 15625})$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{244140625}{15625})$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $244140625$ und $15625$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $15625$ aus $244140625$ heraus.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625 \cdot 15625}{15625})$

Schritt 4.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.2.1

Faktorisiere $15625$ aus $15625$ heraus.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625 \cdot 15625}{15625 (1)})$

Schritt 4.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625 \cdot 15625}{15625 \cdot 1})$

Schritt 4.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625}{1})$

Schritt 4.1.5.2.4

Dividiere $15625$ durch $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (15625)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{6} = 15625$

Schritt 6

Löse nach $b$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{15625}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{15625}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $15625$ als $5^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{5^{6}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 7

Die Variable $b$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$