Finite Mathematik Beispiele

$\log_{b} (3) = 0.517$

Schritt 1

Schreibe $\log_{b} (3) = 0.517$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{0.517} = 3$

Schritt 2

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle den dezimalen Exponenten in einen gebrochenen Exponenten um.

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Schritt 2.1.1

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Dezimalen über einer Potenz von Zehn notierst. Da es $3$ Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen gibt, notiere die Dezimalen über $10^{3}$ $(1000)$ . Als Nächstes addiere die ganze Zahl links von den Dezimalen.

$b^{0 \frac{517}{1000}} = 3$

Schritt 2.1.2

Wandle $0 \frac{517}{1000}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 2.1.2.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$b^{0 + \frac{517}{1000}} = 3$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $0$ und $\frac{517}{1000}$ .

$b^{\frac{517}{1000}} = 3$

Schritt 2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{1}{0.517}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(b^{\frac{517}{1000}})}^{\frac{1}{0.517}} = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache ${(b^{\frac{517}{1000}})}^{\frac{1}{0.517}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{\frac{517}{1000}})}^{\frac{1}{0.517}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b^{\frac{517}{1000} \cdot \frac{1}{0.517}} = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.517$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.2.1

Faktorisiere $0.517$ aus $517$ heraus.

$b^{\frac{0.517 (1000)}{1000} \cdot \frac{1}{0.517}} = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{\frac{0.517 \cdot 1000}{1000} \cdot \frac{1}{0.517}} = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b^{\frac{1000}{1000}} = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Dividiere $1000$ durch $1000$ .

$b^{1} = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache.

$b = 3^{\frac{1}{0.517}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $3^{\frac{1}{0.517}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Dividiere $1$ durch $0.517$ .

$b = 3^{1.93423597}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $1.93423597$ .

$b = 8.37269162$