Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Schreibe $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ als Gleichung.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Vertausche die Variablen.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Löse nach $y$ auf.

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Schreibe die Gleichung als $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ um.

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Löse nach $\sqrt{y}$ auf.

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Vereinfache $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

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Multipliziere $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Vereinfache jeden Term.

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Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Multipliziere $\sqrt{y}$ mit $\sqrt{y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Mutltipliziere $\sqrt{y}$ mit $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Subtrahiere $35 \sqrt{y}$ von $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Setze die Werte $a = 63$ , $b = - 8$ und $c = - 15 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $\sqrt{y}$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Vereinfache.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 252$ mit $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Addiere $64$ und $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $3844 + 252 x$ heraus.

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Faktorisiere $4$ aus $3844$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $252 x$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $4 (961) + 4 (63 x)$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Schreibe $4 (961 + 63 x)$ als $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ um.

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Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Potenziere $31$ mit $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $2$ mit $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 252$ mit $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Addiere $64$ und $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $3844 + 252 x$ heraus.

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Faktorisiere $4$ aus $3844$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $252 x$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $4 (961) + 4 (63 x)$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Schreibe $4 (961 + 63 x)$ als $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ um.

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Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Potenziere $31$ mit $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $2$ mit $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Vereinfache den Zähler.

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Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 4$ mit $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 252$ mit $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Addiere $64$ und $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $3844 + 252 x$ heraus.

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Faktorisiere $4$ aus $3844$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $252 x$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Faktorisiere $4$ aus $4 (961) + 4 (63 x)$ heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Schreibe $4 (961 + 63 x)$ als $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ um.

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Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Potenziere $31$ mit $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Mutltipliziere $2$ mit $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Vereinfache.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ ist.

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Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ und $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ und vergleiche sie.

Finde den Wertebereich von $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

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Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

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Setze den Radikanden in $\sqrt{961 + 63 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$961 + 63 x \geq 0$

Löse nach $x$ auf.

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Subtrahiere $961$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$63 x \geq - 961$

Teile jeden Ausdruck in $63 x \geq - 961$ durch $63$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $63 x \geq - 961$ durch $63$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $63$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Vereinfache die rechte Seite.

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Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{961}{63}$

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ keine inverse Funktion von $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Step 6