Finite Mathematik Beispiele

$\frac{5}{4} x - \frac{2}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1

Löse in $\frac{5}{4} x - \frac{2}{3} y = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x$ .

$\frac{5 x}{4} - \frac{2}{3} y = 1$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 x}{4} - \frac{y \cdot 2}{3} = 1$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{5 x}{4} - \frac{2 y}{3} = 1$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$\frac{5 x}{4} - \frac{2 y}{3} = 1$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.2

Addiere $\frac{2 y}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 x}{4} = 1 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

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Schritt 1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot (5 x) = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$\frac{1}{5} \cdot (5 x) = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.4.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{5} \cdot (5 (x)) = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} \cdot (5 x) = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} \cdot (1 + \frac{2 y}{3})$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5} (1 + \frac{2 y}{3})$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4}{5} \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $1$ .

$x = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.2.1.3

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 1.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{2 y}{3}$ .

$x = \frac{4}{5} + \frac{4 (2 y)}{5 \cdot 3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4}{5} + \frac{8 y}{5 \cdot 3}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.4.2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \frac{4}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{4}{5} + \frac{8 y}{15}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 1.5

Stelle $\frac{4}{5}$ und $\frac{8 y}{15}$ um.

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $\frac{1}{4} x + \frac{5}{3} y = 11$ durch $\frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}) + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (\frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}) + \frac{5}{3} y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2 y)}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2 y)}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{5} + \frac{5}{3} y = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{5} + \frac{5 y}{3} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{1}{5} + \frac{5 y}{3} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Um $\frac{5 y}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 y}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y \cdot 5}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{2 y}{15} + \frac{5 y \cdot 5}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y + 5 y \cdot 5}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y + 5 y \cdot 5$ heraus.

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Schritt 2.2.1.5.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 2 + 5 y \cdot 5}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $5 y \cdot 5$ heraus.

$\frac{y \cdot 2 + y (5 \cdot 5)}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (5 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{y (2 + 5 \cdot 5)}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{y (2 + 5 \cdot 5)}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{y (2 + 25)}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.1.3

Addiere $2$ und $25$ .

$\frac{y \cdot 27}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{y \cdot 27}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $15$ .

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Schritt 2.2.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $y \cdot 27$ heraus.

$\frac{3 (y \cdot 9)}{15} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (y \cdot 9)}{3 (5)} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y \cdot 9)}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \cdot 9}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{y \cdot 9}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{y \cdot 9}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 2.2.1.5.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{9 y}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{9 y}{5} + \frac{1}{5} = 11$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3

Löse in $\frac{9 y}{5} + \frac{1}{5} = 11$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9 y}{5} = 11 - \frac{1}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.1.2

Um $11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9 y}{5} = 11 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $11$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9 y}{5} = \frac{11 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 y}{5} = \frac{11 \cdot 5 - 1}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $11$ mit $5$ .

$\frac{9 y}{5} = \frac{55 - 1}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $1$ von $55$ .

$\frac{9 y}{5} = \frac{54}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{9 y}{5} = \frac{54}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$\frac{9 y}{5} = \frac{54}{5}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$9 y = 54$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $9 y = 54$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y = 54$ durch $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{54}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y}{9} = \frac{54}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{54}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$y = \frac{54}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$y = \frac{54}{9}$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $54$ durch $9$ .

$y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

$x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{8 y}{15} + \frac{4}{5}$ durch $6$ .

$x = \frac{8 (6)}{15} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{8 (6)}{15} + \frac{4}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$x = \frac{48}{15} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $15$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{3 (16)}{15} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{16}{5} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

$x = \frac{16}{5} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

$x = \frac{16}{5} + \frac{4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{16 + 4}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.4.1

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{20}{5}$

$y = 6$

Schritt 4.2.1.4.2

Dividiere $20$ durch $5$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, 6)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, 6)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = 6$

Schritt 7