Finite Mathematik Beispiele

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Addiere $79 \sin^{2} (x)$ und $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $81 \sin^{2} (x)$ als ${(9 \sin (x))}^{2}$ um.

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Stelle $- 1^{2}$ und ${(9 \sin (x))}^{2}$ um.

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9 \sin (x)$ und $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $9 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $9 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $9 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 \sin (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (x) = - 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (x) = - 1$ durch $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 5.2.6.2

Der resultierende Winkel von $3.25293366$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 3.25293366$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.11134101$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.11134101 + 2 π$

Schritt 5.2.8.2

Subtrahiere $0.11134101$ von $2 π$ .

$6.17184429$

Schritt 5.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.17184429$

Schritt 5.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $9 \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $9 \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $9 \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 \sin (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (x) = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (x) = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

Schritt 6.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Schritt 6.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

Schritt 6.2.6.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Schritt 6.2.6.3

Subtrahiere $0.11134101$ von $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $3.25293366 + 2 π n$ und $0.11134101 + 2 π n$ zu $0.11134101 + π n$ zusammen.

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Führe $6.17184429 + 2 π n$ und $3.03025163 + 2 π n$ zu $3.03025163 + π n$ zusammen.

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$