Finite Mathematik Beispiele

$6 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 1$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$6 {(u)}^{2} - 4 u = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 u^{2} - 4 u - 1 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 6$ , $b = - 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 1)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.3

Addiere $16$ und $24$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{6}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$ .

$x = 1.03601404$

Schritt 9.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Schritt 9.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 1.03601404$

Schritt 9.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Schritt 9.4.3

Subtrahiere $1.03601404$ von $3.14159265$ .

$x = 2.1055786$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$ .

$x = - 0.19494537$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.19494537$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Schritt 10.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.19494537$ .

$x = 3.33653802$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.19494537$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.19494537 + 2 π$

Schritt 10.6.2

Subtrahiere $0.19494537$ von $2 π$ .

$6.08823993$

Schritt 10.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.08823993$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n, 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$