Finite Mathematik Beispiele

$5^{6 a - 3} = 2^{4 a + 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (5^{6 a - 3}) = \ln (2^{4 a + 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{6 a - 3})$ durch Herausziehen von $6 a - 3$ aus dem Logarithmus.

$(6 a - 3) \ln (5) = \ln (2^{4 a + 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (2^{4 a + 1})$ durch Herausziehen von $4 a + 1$ aus dem Logarithmus.

$(6 a - 3) \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(6 a - 3) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (6 a - 3) \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(6 a - 3) \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Schritt 4.2

Vereinfache $(4 a + 1) \ln (2)$ .

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) = 4 a \ln (2) + 1 \ln (2)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) = 4 a \ln (2) + \ln (2)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $4 a \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) - 4 a \ln (2) = \ln (2)$

Schritt 4.4

Addiere $3 \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 a \ln (5) - 4 a \ln (2) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $2 a$ aus $6 a \ln (5) - 4 a \ln (2)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2 a$ aus $6 a \ln (5)$ heraus.

$2 a (3 \ln (5)) - 4 a \ln (2) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $2 a$ aus $- 4 a \ln (2)$ heraus.

$2 a (3 \ln (5)) + 2 a (- 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a (3 \ln (5)) + 2 a (- 2 \ln (2))$ heraus.

$2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$ durch $2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$ durch $2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))$ .

$\frac{2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Schritt 4.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{3 \ln (5) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \ln (5) - 2 \ln (2)$ .

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Schritt 4.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{3 \ln (5) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Schritt 4.6.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Dezimalform:

$a = 0.80206708 \dots$