Finite Mathematik Beispiele

$98000 = 29000 (\frac{1 - {(1.067)}^{- n}}{0.067})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $29000 (\frac{1 - {1.067}^{- n}}{0.067}) = 98000$ um.

$29000 (\frac{1 - {1.067}^{- n}}{0.067}) = 98000$

Schritt 2

Vereinfache $29000 (\frac{1 - {1.067}^{- n}}{0.067})$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1 (1)$ um.

$29000 \frac{1 (1) - {1.067}^{- n}}{0.067} = 98000$

Schritt 2.2

Faktorisiere $1$ aus $- {1.067}^{- n}$ heraus.

$29000 \frac{1 (1) + 1 (- {1.067}^{- n})}{0.067} = 98000$

Schritt 2.3

Faktorisiere $1$ aus $1 (1) + 1 (- {1.067}^{- n})$ heraus.

$29000 \frac{1 (1 - {1.067}^{- n})}{0.067} = 98000$

Schritt 2.4

Faktorisiere $0.067$ aus $0.067$ heraus.

$29000 \frac{1 (1 - {1.067}^{- n})}{0.067 (1)} = 98000$

Schritt 2.5

Separiere Brüche.

$29000 (\frac{1}{0.067} \cdot \frac{1 - {1.067}^{- n}}{1}) = 98000$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Dividiere $1$ durch $0.067$ .

$29000 (14.92537313 \frac{1 - {1.067}^{- n}}{1}) = 98000$

Schritt 2.6.2

Dividiere $1 - {1.067}^{- n}$ durch $1$ .

$29000 (14.92537313 (1 - {1.067}^{- n})) = 98000$

Schritt 2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$29000 (14.92537313 \cdot 1 + 14.92537313 (- {1.067}^{- n})) = 98000$

Schritt 2.8

Multipliziere.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $14.92537313$ mit $1$ .

$29000 (14.92537313 + 14.92537313 (- {1.067}^{- n})) = 98000$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14.92537313$ .

$29000 (14.92537313 - 14.92537313 \cdot {1.067}^{- n}) = 98000$

Schritt 2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$29000 \cdot 14.92537313 + 29000 (- 14.92537313 \cdot {1.067}^{- n}) = 98000$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $29000$ mit $14.92537313$ .

$432835.82089552 + 29000 (- 14.92537313 \cdot {1.067}^{- n}) = 98000$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 14.92537313$ mit $29000$ .

$432835.82089552 - 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n} = 98000$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $432835.82089552$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n} = 98000 - 432835.82089552$

Schritt 3.2

Subtrahiere $432835.82089552$ von $98000$ .

$- 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n} = - 334835.82089552$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n} = - 334835.82089552$ durch $- 432835.82089552$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n} = - 334835.82089552$ durch $- 432835.82089552$ .

$\frac{- 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n}}{- 432835.82089552} = \frac{- 334835.82089552}{- 432835.82089552}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 432835.82089552$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 432835.82089552 \cdot {1.067}^{- n}}{- 432835.82089552} = \frac{- 334835.82089552}{- 432835.82089552}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${1.067}^{- n}$ durch $1$ .

${1.067}^{- n} = \frac{- 334835.82089552}{- 432835.82089552}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $- 334835.82089552$ durch $- 432835.82089552$ .

${1.067}^{- n} = 0.7735862$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.067}^{- n}) = \ln (0.7735862)$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({1.067}^{- n})$ durch Herausziehen von $- n$ aus dem Logarithmus.

$- n \ln (1.067) = \ln (0.7735862)$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- n \ln (1.067) = \ln (0.7735862)$ durch $- \ln (1.067)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- n \ln (1.067) = \ln (0.7735862)$ durch $- \ln (1.067)$ .

$\frac{- n \ln (1.067)}{- \ln (1.067)} = \frac{\ln (0.7735862)}{- \ln (1.067)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{n \ln (1.067)}{\ln (1.067)} = \frac{\ln (0.7735862)}{- \ln (1.067)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.067)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.067)}{\ln (1.067)} = \frac{\ln (0.7735862)}{- \ln (1.067)}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (0.7735862)}{- \ln (1.067)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$n = - \frac{\ln (0.7735862)}{\ln (1.067)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = - \frac{\ln (0.7735862)}{\ln (1.067)}$

Dezimalform:

$n = 3.95858621 \dots$