Finite Mathematik Beispiele

$14000 = 600 (\frac{1 - {(1.015)}^{- n}}{0.015})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $600 (\frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015}) = 14000$ um.

$600 (\frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015}) = 14000$

Schritt 2

Vereinfache $600 (\frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015})$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.015$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $0.015$ aus $600$ heraus.

$0.015 (40000) \frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015} = 14000$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.015 \cdot 40000 \frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015} = 14000$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$40000 (1 - {1.015}^{- n}) = 14000$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$40000 \cdot 1 + 40000 (- {1.015}^{- n}) = 14000$

Schritt 2.3

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $40000$ mit $1$ .

$40000 + 40000 (- {1.015}^{- n}) = 14000$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $40000$ .

$40000 - 40000 \cdot {1.015}^{- n} = 14000$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $40000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = 14000 - 40000$

Schritt 3.2

Subtrahiere $40000$ von $14000$ .

$- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = - 26000$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = - 26000$ durch $- 40000$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = - 26000$ durch $- 40000$ .

$\frac{- 40000 \cdot {1.015}^{- n}}{- 40000} = \frac{- 26000}{- 40000}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 40000$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 40000 \cdot {1.015}^{- n}}{- 40000} = \frac{- 26000}{- 40000}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${1.015}^{- n}$ durch $1$ .

${1.015}^{- n} = \frac{- 26000}{- 40000}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 26000$ und $- 40000$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $- 2000$ aus $- 26000$ heraus.

${1.015}^{- n} = \frac{- 2000 (13)}{- 40000}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2000$ aus $- 40000$ heraus.

${1.015}^{- n} = \frac{- 2000 \cdot 13}{- 2000 \cdot 20}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.015}^{- n} = \frac{- 2000 \cdot 13}{- 2000 \cdot 20}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.015}^{- n} = \frac{13}{20}$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.015}^{- n}) = \ln (\frac{13}{20})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({1.015}^{- n})$ durch Herausziehen von $- n$ aus dem Logarithmus.

$- n \ln (1.015) = \ln (\frac{13}{20})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- n \ln (1.015) = \ln (\frac{13}{20})$ durch $- \ln (1.015)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- n \ln (1.015) = \ln (\frac{13}{20})$ durch $- \ln (1.015)$ .

$\frac{- n \ln (1.015)}{- \ln (1.015)} = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{n \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.015)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$n = - \frac{\ln (\frac{13}{20})}{\ln (1.015)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = - \frac{\ln (\frac{13}{20})}{\ln (1.015)}$

Dezimalform:

$n = 28.93371805 \dots$