Finite Mathematik Beispiele

$120 = 7700 (\frac{0.003}{{(1.003)}^{n} - 1})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $7700 (\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1}) = 120$ um.

$7700 (\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1}) = 120$

Schritt 2

Multipliziere $7700 (\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1})$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $7700$ und $\frac{0.003}{{1.003}^{n} - 1}$ .

$\frac{7700 \cdot 0.003}{{1.003}^{n} - 1} = 120$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $7700$ mit $0.003$ .

$\frac{23.1}{{1.003}^{n} - 1} = 120$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit ${1.003}^{n} - 1$ .

$\frac{23.1}{{1.003}^{n} - 1} ({1.003}^{n} - 1) = 120 ({1.003}^{n} - 1)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${1.003}^{n} - 1$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{23.1}{{1.003}^{n} - 1} ({1.003}^{n} - 1) = 120 ({1.003}^{n} - 1)$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$23.1 = 120 ({1.003}^{n} - 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $120 ({1.003}^{n} - 1)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$23.1 = 120 \cdot {1.003}^{n} + 120 \cdot - 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $120$ mit $- 1$ .

$23.1 = 120 \cdot {1.003}^{n} - 120$

Schritt 5

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $120 \cdot {1.003}^{n} - 120 = 23.1$ um.

$120 \cdot {1.003}^{n} - 120 = 23.1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $120$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$120 \cdot {1.003}^{n} = 23.1 + 120$

Schritt 5.2.2

Addiere $23.1$ und $120$ .

$120 \cdot {1.003}^{n} = 143.1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $120 \cdot {1.003}^{n} = 143.1$ durch $120$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $120 \cdot {1.003}^{n} = 143.1$ durch $120$ .

$\frac{120 \cdot {1.003}^{n}}{120} = \frac{143.1}{120}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $120$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{120 \cdot {1.003}^{n}}{120} = \frac{143.1}{120}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere ${1.003}^{n}$ durch $1$ .

${1.003}^{n} = \frac{143.1}{120}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $143.1$ durch $120$ .

${1.003}^{n} = 1.1925$

Schritt 5.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.003}^{n}) = \ln (1.1925)$

Schritt 5.5

Zerlege $\ln ({1.003}^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$n \ln (1.003) = \ln (1.1925)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.003) = \ln (1.1925)$ durch $\ln (1.003)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $n \ln (1.003) = \ln (1.1925)$ durch $\ln (1.003)$ .

$\frac{n \ln (1.003)}{\ln (1.003)} = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.003)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n \ln (1.003)}{\ln (1.003)} = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$n = \frac{\ln (1.1925)}{\ln (1.003)}$

Dezimalform:

$n = 58.77196328 \dots$