Finite Mathematik Beispiele

$\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (r (r - 2)) = 3$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (r \cdot r + r \cdot - 2) = 3$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\log_{2} (r^{2} + r \cdot - 2) = 3$

Schritt 1.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $r$ .

$\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{3} = r^{2} - 2 r$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $r^{2} - 2 r = 2^{3}$ um.

$r^{2} - 2 r = 2^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$r^{2} - 2 r = 8$

Schritt 3.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $r^{2} - 2 r - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Schritt 3.6

Setze $r - 4$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $r - 4$ gleich $0$ .

$r - 4 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 4$

Schritt 3.7

Setze $r + 2$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Setze $r + 2$ gleich $0$ .

$r + 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 2$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 4) (r + 2) = 0$ wahr machen.

$r = 4, - 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$ nicht erfüllen.

$r = 4$