Finite Mathematik Beispiele

$53 = \frac{170 t}{t^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ um.

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$t^{2} + 1, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$t^{2} + 1, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$t^{2} + 1$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ mit $t^{2} + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ mit $t^{2} + 1$ .

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} (t^{2} + 1) = 53 (t^{2} + 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} (t^{2} + 1) = 53 (t^{2} + 1)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$170 t = 53 (t^{2} + 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$170 t = 53 t^{2} + 53 \cdot 1$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $53$ mit $1$ .

$170 t = 53 t^{2} + 53$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $53 t^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$170 t - 53 t^{2} = 53$

Schritt 4.2

Subtrahiere $53$ von beiden Seiten der Gleichung.

$170 t - 53 t^{2} - 53 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = - 53$ , $b = 170$ und $c = - 53$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 170 \pm \sqrt{170^{2} - 4 \cdot (- 53 \cdot - 53)}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $170$ mit $2$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 - 4 \cdot - 53 \cdot - 53}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 53 \cdot - 53$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 + 212 \cdot - 53}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $212$ mit $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 - 11236}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $11236$ von $28900$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{17664}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $17664$ als $16^{2} \cdot 69$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $256$ aus $17664$ heraus.

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{256 (69)}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{16^{2} \cdot 69}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{2 \cdot - 53}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{- 106}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{- 106}$ .

$t = \frac{85 \pm 8 \sqrt{69}}{53}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = \frac{85 + 8 \sqrt{69}}{53}, \frac{85 - 8 \sqrt{69}}{53}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \frac{85 + 8 \sqrt{69}}{53}, \frac{85 - 8 \sqrt{69}}{53}$

Dezimalform:

$t = 2.85760360 \dots, 0.34994356 \dots$