Finite Mathematik Beispiele

${(x^{\frac{1}{3}} + y^{- 1})}^{- 1} = \frac{5}{11}$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{y})}^{- 1} = \frac{5}{11}$

Schritt 1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{y}} = \frac{5}{11}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Um $x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{3}} y}{y} + \frac{1}{y}} = \frac{5}{11}$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{3}} y + 1}{y}} = \frac{5}{11}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1}$ mit $1$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$

Schritt 1.6

Stelle die Faktoren in $\frac{y}{x^{\frac{1}{3}} y + 1} = \frac{5}{11}$ um.

$\frac{y}{y x^{\frac{1}{3}} + 1} = \frac{5}{11}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$y \cdot 11 = (y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ um.

$(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5 = y \cdot 11$ durch $5$ .

$\frac{(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5}{5} = \frac{y \cdot 11}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y x^{\frac{1}{3}} + 1) \cdot 5}{5} = \frac{y \cdot 11}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $y x^{\frac{1}{3}} + 1$ durch $1$ .

$y x^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{y \cdot 11}{5}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe $11$ auf die linke Seite von $y$ .

$y x^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{11 y}{5}$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{\frac{1}{3}} - \frac{11 y}{5} = - 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{11 y}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{\frac{1}{3}} = - 1 + \frac{11 y}{5}$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${(y x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $y x^{\frac{1}{3}}$ an.

$y^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} x^{1} = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.1.1.3

Vereinfache.

$y^{3} x = {(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(- 1 + \frac{11 y}{5})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y^{3} x = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 \cdot 1 \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y^{3} x = - 1 + 3 \frac{11 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.4

Multipliziere $3 \frac{11 y}{5}$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{11 y}{5}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{3 (11 y)}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.4.2

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + 3 \cdot - 1 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 {(\frac{11 y}{5})}^{2} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.2.1.2.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11 y}{5}$ an.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{{(11 y)}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.6.2

Wende die Produktregel auf $11 y$ an.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{11^{2} y^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.7

Potenziere $11$ mit $2$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{121 y^{2}}{5^{2}} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.8

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - 3 \frac{121 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.9

Multipliziere $- 3 \frac{121 y^{2}}{25}$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.9.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{121 y^{2}}{25}$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + \frac{- 3 (121 y^{2})}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.9.2

Mutltipliziere $121$ mit $- 3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} + \frac{- 363 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + {(\frac{11 y}{5})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.2.1.2.11.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11 y}{5}$ an.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{{(11 y)}^{3}}{5^{3}}$

Schritt 3.5.2.1.2.11.2

Wende die Produktregel auf $11 y$ an.

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{11^{3} y^{3}}{5^{3}}$

Schritt 3.5.2.1.2.12

Potenziere $11$ mit $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{5^{3}}$

Schritt 3.5.2.1.2.13

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$ durch $y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{3} x = - 1 + \frac{33 y}{5} - \frac{363 y^{2}}{25} + \frac{1331 y^{3}}{125}$ durch $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} x}{y^{3}} = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} x}{y^{3}} = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{33 y}{5}}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 y}{5} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.3

Kombinieren.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 y \cdot 1}{5 y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{3}$ .

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Schritt 3.6.3.1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $33 y \cdot 1$ heraus.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{5 y^{3}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.3.1.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y^{3}$ heraus.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{y (5 y^{2})} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{y (33 \cdot 1)}{y (5 y^{2})} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33 \cdot 1}{5 y^{2}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.5

Mutltipliziere $33$ mit $1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- \frac{363 y^{2}}{25}}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363 y^{2}}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.6.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{363 y^{2}}{25}$ in den Zähler.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363 y^{2}}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.7.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 363 y^{2}$ heraus.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{3}} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.7.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{2} y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{y^{2} \cdot - 363}{25} \cdot \frac{1}{y^{2} y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.7.5

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363}{25} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.8

Mutltipliziere $\frac{- 363}{25}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} + \frac{- 363}{25 y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{\frac{1331 y^{3}}{125}}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3}}{125} \cdot \frac{1}{y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.11

Kombinieren.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3} \cdot 1}{125 y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 3.6.3.1.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 y^{3} \cdot 1}{125 y^{3}}$

Schritt 3.6.3.1.12.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331 \cdot 1}{125}$

Schritt 3.6.3.1.13

Mutltipliziere $1331$ mit $1$ .

$x = - \frac{1}{y^{3}} + \frac{33}{5 y^{2}} - \frac{363}{25 y} + \frac{1331}{125}$