Finite Mathematik Beispiele

${(\sqrt{5})}^{x + 1} = 25^{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(5^{\frac{1}{2}})}^{x + 1} = 25^{x}$

Schritt 2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{1}{2} (x + 1)} = 25^{x}$

Schritt 3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{\frac{1}{2} (x + 1)} = 5^{2 x}$

Schritt 4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$\frac{1}{2} (x + 1) = 2 x$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 1) = 2 x$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{1}{2} \cdot (x + 1) = 2 x$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 x$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 = 2 x$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2 x$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} - 2 x = 0$

Schritt 5.2.2

Um $- 2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 x \cdot 2 + 1}{2} = 0$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x - 4 x + 1}{2} = 0$

Schritt 5.2.7

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$\frac{- 3 x + 1}{2} = 0$

Schritt 5.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 1}{2} = 0$

Schritt 5.2.9

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 1)}{2} = 0$

Schritt 5.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 1)}{2} = 0$

Schritt 5.2.11

Schreibe $- (3 x - 1)$ als $- 1 (3 x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 1)}{2} = 0$

Schritt 5.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 1}{2} = 0$

Schritt 5.3

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{3}$