Finite Mathematik Beispiele

${(\frac{5}{6})}^{x} = \frac{36}{25}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{5}{6})}^{x}) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{5}{6})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{5}{6})$ als $\ln (5) - \ln (6)$ um.

$x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (6)$ als $\ln (2 (3))$ um.

$x (\ln (5) - \ln (2 (3))) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (2 (3))$ als $\ln (2) + \ln (3)$ um.

$x (\ln (5) - (\ln (2) + \ln (3))) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3))$ .

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Schritt 3.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x (\ln (\frac{5}{2}) - \ln (3)) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{\frac{5}{2}}{3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (\frac{5}{2 \cdot 3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$ durch $\ln (\frac{5}{6})$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$ durch $\ln (\frac{5}{6})$ .

$\frac{x \ln (\frac{5}{6})}{\ln (\frac{5}{6})} = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (\frac{5}{6})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{5}{6})}{\ln (\frac{5}{6})} = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Dezimalform:

$x = - 2$