Finite Mathematik Beispiele

$(1 + i) x + (3 + 5 i) y = 1 + 3 i$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 x + i x + (3 + 5 i) y = 1 + 3 i$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + i x + (3 + 5 i) y = 1 + 3 i$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + i x + 3 y + 5 i y = 1 + 3 i$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + i x + 5 i y = 1 + 3 i - 3 y$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5 i y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + i x = 1 + 3 i - 3 y - 5 i y$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $x + i x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 + i x = 1 + 3 i - 3 y - 5 i y$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $i x$ heraus.

$x \cdot 1 + x i = 1 + 3 i - 3 y - 5 i y$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x i$ heraus.

$x (1 + i) = 1 + 3 i - 3 y - 5 i y$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + i) = 1 + 3 i - 3 y - 5 i y$ durch $1 + i$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + i) = 1 + 3 i - 3 y - 5 i y$ durch $1 + i$ .

$\frac{x (1 + i)}{1 + i} = \frac{1}{1 + i} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + i$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + i)}{1 + i} = \frac{1}{1 + i} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{1 + i} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$x = \frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.2.1

Kombinieren.

$x = \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $1 - i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.2.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$x = \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$x = \frac{1 - i}{1 - i^{2}} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 - i}{1 - - 1} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 - i}{1 + 1} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1 - i}{2} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.3

Zerlege den Bruch $\frac{1 - i}{2}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{2} + \frac{- i}{2} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i}{1 + i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.5

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{3 i}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.6.1

Kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i \cdot 1 + 3 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i + 3 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.3

Multipliziere $3 i (- i)$ .

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Schritt 4.3.1.6.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i - 3 i i}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i - 3 (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i - 3 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i - 3 i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i - 3 i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.6.2.4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i - 3 \cdot - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 i + 3}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.2.5

Stelle $3 i$ und $3$ um.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.6.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.6.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.6.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i - i i} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 + 0 - i^{2}} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - i^{2}} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.6.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 - - 1} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{1 + 1} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3 + 3 i}{2} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.7

Zerlege den Bruch $\frac{3 + 3 i}{2}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y}{1 + i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.8

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 3 y}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.9.1

Kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y \cdot 1 - 3 y (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y - 3 y (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.9.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.9.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.9.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i - i i} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 + 0 - i^{2}} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - i^{2}} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.9.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 - - 1} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{1 + 1} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.9.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{- 3 y + 3 y i}{2} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.10

Faktorisiere $3 y$ aus $- 3 y + 3 y i$ heraus.

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Schritt 4.3.1.10.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 3 y$ heraus.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1) + 3 y i}{2} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.10.2

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y i$ heraus.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1) + 3 y (i)}{2} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.10.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (- 1) + 3 y (i)$ heraus.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y}{1 + i}$

Schritt 4.3.1.11

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 5 i y}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Schritt 4.3.1.12

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.12.1

Kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.12.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y \cdot 1 - 5 i y (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 i y (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.3

Multipliziere $- 5 i y (- i)$ .

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Schritt 4.3.1.12.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y + 5 i y i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y + 5 y (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y + 5 y (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y + 5 y i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y + 5 y i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.12.2.4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y + 5 y \cdot - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.12.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.12.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.12.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 + 0 - i^{2}}$

Schritt 4.3.1.12.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - i^{2}}$

Schritt 4.3.1.12.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.12.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 - - 1}$

Schritt 4.3.1.12.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{1 + 1}$

Schritt 4.3.1.12.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{- 5 i y - 5 y}{2}$

Schritt 4.3.1.13

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 i y - 5 y$ heraus.

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Schritt 4.3.1.13.1

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 i y$ heraus.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{5 y (- i) - 5 y}{2}$

Schritt 4.3.1.13.2

Faktorisiere $5 y$ aus $- 5 y$ heraus.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{5 y (- i) + 5 y (- 1)}{2}$

Schritt 4.3.1.13.3

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y (- i) + 5 y (- 1)$ heraus.

$x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2} + \frac{3 y (- 1 + i)}{2} + \frac{5 y (- i - 1)}{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - i + 3 + 3 i + 3 y (- 1 + i) + 5 y (- i - 1)}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 - i + 3 + 3 i + 3 y \cdot - 1 + 3 y i + 5 y (- i - 1)}{2}$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = \frac{1 - i + 3 + 3 i - 3 y + 3 y i + 5 y (- i - 1)}{2}$

Schritt 4.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 - i + 3 + 3 i - 3 y + 3 y i + 5 y (- i) + 5 y \cdot - 1}{2}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = \frac{1 - i + 3 + 3 i - 3 y + 3 y i - 5 y i + 5 y \cdot - 1}{2}$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = \frac{1 - i + 3 + 3 i - 3 y + 3 y i - 5 y i - 5 y}{2}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \frac{4 - i + 3 i - 3 y + 3 y i - 5 y i - 5 y}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $- i$ und $3 i$ .

$x = \frac{4 + 2 i - 3 y + 3 y i - 5 y i - 5 y}{2}$

Schritt 4.3.4.3

Subtrahiere $5 y$ von $- 3 y$ .

$x = \frac{4 + 2 i + 3 y i - 5 y i - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.4

Subtrahiere $5 y i$ von $3 y i$ .

$x = \frac{4 + 2 i - 2 y i - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 i - 2 y i - 8 y$ und $2$ .

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Schritt 4.3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2 + 2 i - 2 y i - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 i$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 2 + 2 (i) - 2 y i - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (i)$ heraus.

$x = \frac{2 (2 + i) - 2 y i - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.5.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y i$ heraus.

$x = \frac{2 (2 + i) + 2 (- y i) - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 + i) + 2 (- y i)$ heraus.

$x = \frac{2 (2 + i - y i) - 8 y}{2}$

Schritt 4.3.4.5.6

Faktorisiere $2$ aus $- 8 y$ heraus.

$x = \frac{2 (2 + i - y i) + 2 (- 4 y)}{2}$

Schritt 4.3.4.5.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 + i - y i) + 2 (- 4 y)$ heraus.

$x = \frac{2 (2 + i - y i - 4 y)}{2}$

Schritt 4.3.4.5.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.5.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (2 + i - y i - 4 y)}{2 (1)}$

Schritt 4.3.4.5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 + i - y i - 4 y)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 + i - y i - 4 y}{1}$

Schritt 4.3.4.5.8.4

Dividiere $2 + i - y i - 4 y$ durch $1$ .

$x = 2 + i - y i - 4 y$