Finite Mathematik Beispiele

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\ln (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\ln (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\ln (x) - 2$ gleich $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\ln (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) = 2$

Schritt 3.2.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\ln (x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Schritt 3.2.4

Schreibe die Gleichung als $x = e^{2}$ um.

$x = e^{2}$

Schritt 4

Setze $\ln (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\ln (x) + 1$ gleich $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\ln (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $\ln (x) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Schritt 4.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- 1}$ um.

$x = e^{- 1}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Dezimalform:

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$