Finite Mathematik Beispiele

4 x^{2} - y^{2} + 24 x - 4 y - 68 = 0

$4 x^{2} - y^{2} + 24 x - 4 y - 68 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte

a = - 1

$a = - 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ und

c = 4 x^{2} + 24 x - 68

$c = 4 x^{2} + 24 x - 68$ in die Quadratformel ein und löse nach

y

$y$ auf.

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere

- 4

$- 4$ aus

{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere

- 4

$- 4$ aus

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere

- 4

$- 4$ aus

- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

$- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere

- 4

$- 4$ aus

- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))

$- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

$- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Stelle

- 4

$- 4$ und

- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)

$- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ um.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 4)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Schreibe

- 4

$- 4$ als

- 1 (4)

$- 1 (4)$ um.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 (4)

$- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 (4)$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe

- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)

$- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)$ als

- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)

$- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)$ um.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.3

Addiere

- 68

$- 68$ und

4

$4$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 x^{2} + 24 x - 64

$4 x^{2} + 24 x - 64$ heraus.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 x^{2}

$4 x^{2}$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere

4

$4$ aus

24 x

$24 x$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 4 (6 x) - 64))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 4 (6 x) - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere

4

$4$ aus

- 64

$- 64$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.4

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 x^{2} + 4 (6 x)

$4 x^{2} + 4 (6 x)$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.5

Faktorisiere

4

$4$ aus

4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16

$4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16$ heraus.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere.

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (4 (x - 2) (x + 8)))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (4 (x - 2) (x + 8)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

4

$4$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 4

$- 4$ .

y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.8

Schreibe

16 (x - 2) (x + 8)

$16 (x - 2) (x + 8)$ als

{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))

${(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.10

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache

\frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}

$\frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}$ .

y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}$

Schritt 3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

\frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}$ .

y = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$y = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

Schritt 3.5

Schreibe

- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$ als

- (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$- (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$ um.

y = - (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$y = - (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

y = - (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})

$y = - (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

y = - 2 - 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}

$y = - 2 - 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}$

y = - 2 + 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}

$y = - 2 + 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}$