Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = - 15$

Schritt 1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 15 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 2 \cdot 15 = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 30 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 16$ und $c = x^{2} - 12 x + 30$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} - 8 (- 12 x) - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $30$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 240}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $240$ von $256$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 8 x^{2} + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x^{2} + 96 x + 16$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $8$ aus $96 x$ heraus.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x^{2}) + 8 (12 x)$ heraus.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)$ heraus.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $8 (- x^{2} + 12 x + 2)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (2) (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{8 - \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)} + 8}{2}$