Finite Mathematik Beispiele

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{64} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$

Schritt 2

Vereinfache $1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{64}{64} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{64}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{64 - {(x - 1)}^{2}}{64}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{8^{2} - {(x - 1)}^{2}}{64}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = x - 1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(8 + x - 1) (8 - (x - 1))}{64}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - (x - 1))}{64}$

Schritt 2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - x - - 1)}{64}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (8 - x + 1)}{64}$

Schritt 2.2.3.4

Addiere $8$ und $1$ .

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- x + 9)}{64}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) + 9)}{64}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (- 9))}{64}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 9)$ heraus.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- (x - 9))}{64}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- (x - 9)$ als $- 1 (x - 9)$ um.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{(x + 7) (- 1 (x - 9))}{64}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = - \frac{(x + 7) (x - 9)}{64}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 36$ .

$- 36 (- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36}) = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $- 36 (- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36})$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(y + 3)}^{2}}{36}$ in den Zähler.

$- 36 \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4.1.1.1.2

Faktorisiere $36$ aus $- 36$ heraus.

$36 (- 1) \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 \cdot - 1 \frac{- {(y + 3)}^{2}}{36} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - {(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4.1.1.2.2

Mutltipliziere ${(y + 3)}^{2}$ mit $1$ .

${(y + 3)}^{2} = - 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 36 (- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(x + 7) (x - 9)}{64}$ in den Zähler.

${(y + 3)}^{2} = - 36 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{64}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 36$ heraus.

${(y + 3)}^{2} = 4 (- 9) \frac{- (x + 7) (x - 9)}{64}$

Schritt 4.2.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

${(y + 3)}^{2} = 4 \cdot - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{2} = 4 \cdot - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{4 \cdot 16}$

Schritt 4.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{2} = - 9 \frac{- (x + 7) (x - 9)}{16}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{- (x + 7) (x - 9)}{16}$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{- 9 (- (x + 7) (x - 9))}{16}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{9 (x + 7) (x - 9)}{16}$ als ${(\frac{3}{4})}^{2} ((x + 7) (x - 9))$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 (x + 7) (x - 9)$ heraus.

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{16}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$y + 3 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{4^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} ((x + 7) (x - 9))}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$y + 3 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} ((x + 7) (x - 9))}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y + 3 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{(x + 7) (x - 9)}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\sqrt{(x + 7) (x - 9)}$ .

$y + 3 = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y + 3 = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y + 3 = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 7.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 7) (x - 9)}}{4} - 3$