Finite Mathematik Beispiele

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3^{2} (\frac{1}{6}) - 3 x$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 9 (\frac{1}{6}) - 3 x$

Schritt 1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 (3) \frac{1}{6} - 3 x$

Schritt 1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2} - 3 x$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2} - 3 x$

Schritt 1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 (\frac{1}{2}) - 3 x$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = \frac{3}{2} - 3 x$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = \frac{3}{2} - 3 x - 2 x$

Schritt 1.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 3 x - 2 x + 2$

Schritt 1.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3 + 4}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.7

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 5 x + \frac{7}{2}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ als ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 8$ und $4$ .

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$\frac{x - 4}{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$ als $(- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$ um.

$\frac{x - 4}{2} = (- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x + \frac{7}{2}) + \frac{7}{2} (- 5 x + \frac{7}{2})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x + \frac{7}{2})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 x \cdot x - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 (x \cdot x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 x^{2} - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- 5 x \frac{7}{2}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + x \frac{- 5 \cdot 7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + x \frac{- 35}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $x$ und $\frac{- 35}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + \frac{x \cdot - 35}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Bringe $- 35$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + \frac{- 35 \cdot x}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 \cdot x}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Multipliziere $\frac{7}{2} (- 5 x)$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.7.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 5 \cdot 7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 35}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.3

Kombiniere $\frac{- 35}{2}$ und $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 35 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.9

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{49}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $\frac{35 x}{2}$ von $- \frac{35 x}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 2 \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + 2 (- 1) \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Schritt 3.3.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Schritt 3.3.1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 1 (35 x) + \frac{49}{4}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $35$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 4 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $(25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 4 = 25 x^{2} \cdot 2 - 35 x \cdot 2 + \frac{49}{4} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 35 x \cdot 2 + \frac{49}{4} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 35$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{4} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2 (2)} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2} = x - 4$

Schritt 4.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2} - x = - 4$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 70 x$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} = - 4$

Schritt 4.3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache $50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49 + 8}{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Addiere $49$ und $8$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{57}{2} = 0$

Schritt 4.3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (50 x^{2}) + 2 (- 71 x) + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $2$ .

$100 x^{2} + 2 (- 71 x) + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $- 71$ mit $2$ .

$100 x^{2} - 142 x + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 x^{2} - 142 x + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$100 x^{2} - 142 x + 57 = 0$

Schritt 4.3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.6

Setze die Werte $a = 100$ , $b = - 142$ und $c = 57$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{142 \pm \sqrt{{(- 142)}^{2} - 4 \cdot (100 \cdot 57)}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.7.1.1

Potenziere $- 142$ mit $2$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 4 \cdot 100 \cdot 57}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 100 \cdot 57$ .

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Schritt 4.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $100$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 400 \cdot 57}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 400$ mit $57$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 22800}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.3

Subtrahiere $22800$ von $20164$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 2636}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.4

Schreibe $- 2636$ als $- 1 (2636)$ um.

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2636}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2636)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2636}$ um.

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2636}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{2636}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.7

Schreibe $2636$ als $2^{2} \cdot 659$ um.

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Schritt 4.3.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $2636$ heraus.

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{4 (659)}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 659}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{142 \pm i \cdot (2 \sqrt{659})}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{2 \cdot 100}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$x = \frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{200}$

Schritt 4.3.7.3

Vereinfache $\frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{200}$ .

$x = \frac{71 \pm i \sqrt{659}}{100}$

Schritt 4.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{71 + i \sqrt{659}}{100}, \frac{71 - i \sqrt{659}}{100}$