Finite Mathematik Beispiele

$20 x^{3} - 15 x^{2} = 4 x - 3$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{3} - 15 x^{2} - 4 x = - 3$

Schritt 2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{3} - 15 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(20 x^{3} - 15 x^{2}) - 4 x + 3 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 x^{2} (4 x - 3) - (4 x - 3) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (5 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$5 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 6

Setze $5 x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $5 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$5 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $5 x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Schritt 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 6.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 6.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 6.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 6.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 3) (5 x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.75, 0.44721359 \dots, - 0.44721359 \dots$