Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{\frac{11}{5}} - 19 x^{\frac{6}{5}} + 24 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{5}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$2 {(x^{\frac{1}{5}})}^{11} - 19 {(x^{\frac{1}{5}})}^{6} + 24 x^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2

Ersetze $x^{\frac{1}{5}}$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{11} - 19 {(u)}^{6} + 24 (u) = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere $24$ mit $u$ .

$2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u^{11}$ heraus.

$u (2 u^{10}) - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- 19 u^{6}$ heraus.

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + 24 u = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $u$ aus $24 u$ heraus.

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5})$ heraus.

$u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $u$ aus $u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24$ heraus.

$u (2 u^{10} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $u^{10}$ als ${(u^{5})}^{2}$ um.

$u (2 {(u^{5})}^{2} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Schritt 3.2.3

Es sei $u = u^{5}$ . Ersetze $u$ für alle $u^{5}$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 24 = 48$ und deren Summe gleich $b = - 19$ ist.

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Schritt 3.2.4.1.1

Faktorisiere $- 19$ aus $- 19 u$ heraus.

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Schritt 3.2.4.1.2

Schreibe $- 19$ um als $- 3$ plus $- 16$

$u (2 u^{2} + (- 3 - 16) u + 24) = 0$

Schritt 3.2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u (2 u^{2} - 3 u - 16 u + 24) = 0$

Schritt 3.2.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$u ((2 u^{2} - 3 u) - 16 u + 24) = 0$

Schritt 3.2.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (u (2 u - 3) - 8 (2 u - 3)) = 0$

Schritt 3.2.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 3$ .

$u ((2 u - 3) (u - 8)) = 0$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.5.1

Ersetze alle $u$ durch $u^{5}$ .

$u ((2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8)) = 0$

Schritt 3.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$2 u^{5} - 3 = 0$

$u^{5} - 8 = 0$

Schritt 3.4

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 3.5

Setze $2 u^{5} - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 u^{5} - 3$ gleich $0$ .

$2 u^{5} - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 u^{5} - 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{5} = 3$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u^{5} = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u^{5} = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u^{5}$ durch $1$ .

$u^{5} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ um.

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$

Schritt 3.5.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Schritt 3.5.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Schritt 3.5.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt[5]{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Schritt 3.5.2.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Schritt 3.5.2.4.3.4

Addiere $1$ und $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Schritt 3.5.2.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ als $2$ um.

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Schritt 3.5.2.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 3.5.2.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 3.5.2.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.5.2.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.5.2.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ als $\sqrt[5]{2^{4}}$ um.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.4.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{16}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$u = \frac{\sqrt[5]{3 \cdot 16}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$

Schritt 3.6

Setze $u^{5} - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $u^{5} - 8$ gleich $0$ .

$u^{5} - 8 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $u^{5} - 8 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{5} = 8$

Schritt 3.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{8}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Schritt 5

Löse nach $x^{\frac{1}{5}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{5}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Löse nach $x^{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ an.

$x = \frac{{\sqrt[5]{48}}^{5}}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe ${\sqrt[5]{48}}^{5}$ als $48$ um.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{48}$ als $48^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{{(48^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{48^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{48^{1}}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{48}{2^{5}}$

Schritt 6.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{48}{32}$

Schritt 6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $32$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{16 (3)}{32}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 7

Löse nach $x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$ auf für $x$ .

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Schritt 7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Schritt 7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Schritt 7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ als $8$ um.

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Schritt 7.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{8}$ als $8^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$x = {(8^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 7.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 8^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 7.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Schritt 7.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 8^{1}$

Schritt 7.2.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = 8$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Dezimalform:

$x = 0, 1.5, 8$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 0, 1 \frac{1}{2}, 8$